Курс лекций по математическому анализу - II

Учебное пособие. – СПб: НИУ ИТМО, 2013. –153 с.Предлагаемое пособие является продолжением учебного пособия Т.В. Родина, Е.С. Трифанова «Курс лекций по математическому анализу – I» и предназначено для студентов ЕНФ и ФИТИП специальности «Прикладная математика и информатика». В пособии представлен курс лекций по математическому анализу, читаемых для студентов этой специальности во втором семестре. Данное пособие может быть использовано студентами других специальностей, желающими углубить свои знания в области математического анализа.Содержание.
Неопределённый интеграл .
Первообразная.
Неопределенный интеграл. Основные свойства И таблица интегралов.
Методы интегрирования.
Замена переменной.
Интегрирование ПО частям.
Классы интегрируемых функций.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование выражений, содержащих иррациональности.
Интегрирование тригонометрических функций.
Определённый интеграл .
Определение.
Интегралыные суммы Римана.
Геометрическая и физическая интерпретация определенного интеграла.
Необходимое условие интегрируемости функции.
Интегральные суммы Дарбу.
Критерии интегрируемости функции.
Классы интегрируемых функций.
Свойства определенного интеграла.
Свойства, связанные С действиями над функциями.
Свойства интеграла, связанные С промежутком интегрирования.
Оценки интегралов.
Первая интегральная теорема о среднем.
Интеграл С переменным верхним пределом. Формула Ньютона - Лейбница.
Определение и свойства интеграла С переменным верхним пределом.
Вторая интегральная теорема О среднем.
Методы вычисления определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла от четной, нечетной и периодической функций.
Некоторые формулы, связанные С определенным интегралом.
Формула Валлиса.
Интегральная форма остаточного члена формулы Тейлора.
Формула Стирлинга.
Приложения определённого интеграла.
Понятие об измерении множеств в Rn .
Определения.
Свойства измеримых множеств.
Необходимые и достаточные условия измеримости множеств.
Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь элементарного множества.
Площадь криволинейной трапеции.
Кривые В Rn. Длина кривой.
Вычисление объемов.
Несобственные интегралы первого и второго рода .
Определения.
Несобственный интеграл ПО бесконечному промежутку.
Несобственный интеграл ОТ неограниченной функции.
Обобщение.
Признаки сходимости несобственных интегралов.
Критерий Коши сходимости интегралов.
Теоремы сравнения.
Исследование интеграла от функции, меняющей знак.
Числовые ряды .
Ряды с положительными членами.
Ряды с произвольными членами.
Абсолютная сходимость.
Признаки сходимости рядов с произвольными членами.
Законы сложения для рядов. Теорема Римана.
Функциональные ряды.
Область сходимости.
Равномерная сходимость последовательности функций.
Определение.
Свойства равномерно сходящихся последовательностей.
Равномерная сходимость ряда.
Определение.
Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
Степенные ряды.
Ряды Тейлора.
Разложение в ряд Маклорена элементарных функций.
Список литературы.